Seja C o espaço vetorial dos números complexos sobre R. Consideremos F, G in L(C) assim definidas:
F(z)=(raiz22+i raiz22) z e G(z)=iz, z in C Calcular:
b) F^4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular , onde . Aqui, estamos trabalhando no espaço vetorial dos números complexos sobre . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as operações com números complexos e como aplicar uma transformação linear várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa F^4(z) = F(F(F(F(z)))) . Isso quer dizer que vamos aplicar a transformação F^4(z) = (raiz22 + i raiz22)^4 cdot z quatro vezes seguidas. Ou seja:
Como é basicamente multiplicar por um número complexo , podemos reescrever isso como:

Passo 3

Vamos calcular agora (e^ipi4)^4 = e^ipi4 times 4 = e^ipi . Sabemos que pode ser representado na forma polar como , já que o módulo é 1 e o ângulo é ou radianos.
Usando as propriedades das potências de números complexos na forma polar, temos:
Sabemos que (essa é a famosa identidade de Euler).

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original, temos:
F^4(z) = (-1) cdot z = -z

Resposta

Portanto, .

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