Seja
o espaço vetorial dos números complexos sobre
. Consideremos
assim definidas:
b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular
, onde
. Aqui, estamos trabalhando no espaço vetorial dos números complexos
sobre
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as operações com números complexos e como aplicar uma transformação linear várias vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que vamos aplicar a transformação
quatro vezes seguidas. Ou seja:
Como
é basicamente multiplicar
por um número complexo
, podemos reescrever isso como:
Passo 3
Vamos calcular agora
. Sabemos que
pode ser representado na forma polar como
, já que o módulo é 1 e o ângulo é
ou
radianos.
Usando as propriedades das potências de números complexos na forma polar, temos:
Sabemos que
(essa é a famosa identidade de Euler).
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original, temos:
Resposta
Portanto,
.