Determine a projeção de v sobre u u=(-2,6,-6), v=(5,-1,4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a projeção do vetor sobre o vetor . Isso está relacionado ao conteúdo de projeção de vetores na matéria de Álgebra Vetorial. Para resolver, vamos precisar da fórmula da projeção de um vetor sobre o outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da projeção do vetor proju v = ( v cdot uu cdot u ) u sobre o vetor . A projeção é dada por:
Aqui, representa o produto escalar dos vetores, e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot u = (5)(-2) + (-1)(6) + (4)(-6) = -10 -6 -24 = -40 :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot u = (-2)^2 + 6^2 + (-6)^2 = 4 + 36 + 36 = 76 :

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
proju v = ( -4076 ) u = ( -4076 ) u
Simplificando a fração:
-4076 = -1019

Passo 6

Agora, multiplicamos proju v = -1019 times (-2, 6, -6) = ( 2019, -6019, 6019 ) pelo vetor :

Resposta

A projeção de sobre é .

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