Determinar se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
c)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre um operador linear
em
definido por
. Precisamos descobrir se esse operador é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar as definições:
- Idempotente: Um operador
é idempotente se, quando aplicado duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez, ou seja, . - Nilpotente: Um operador
é nilpotente se, após aplicá-lo várias vezes (digamos vezes), o resultado é o vetor nulo, ou seja, .
Vamos verificar qual dessas propriedades o operador
possui.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é idempotente. Isso significa calcular
e ver se é igual a
.
Aplicando
duas vezes:
Comparando com
, vemos que:
Então,
é idempotente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é nilpotente. Para isso, precisamos encontrar um número
tal que
, onde
é o operador que leva todo vetor ao vetor nulo.
Vamos aplicar
repetidamente:
Perceba que, não importa quantas vezes aplicamos
, sempre obtemos
, nunca chegando ao vetor nulo a menos que
e
, o que não é geral. Portanto, não existe um
tal que
.
Resposta
O operador
é idempotente e não é nilpotente.