Determinar se os seguintes operadores lineares do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
c) F(x, y, z)=(x, 0, z) ; F^2=F(x, 0, p)=(x, 0, z) , , cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é sobre um operador linear em definido por . Precisamos descobrir se esse operador é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar as definições:
  • Idempotente: Um operador é idempotente se, quando aplicado duas vezes, o resultado é o mesmo que aplicar uma vez, ou seja, .
  • Nilpotente: Um operador é nilpotente se, após aplicá-lo várias vezes (digamos vezes), o resultado é o vetor nulo, ou seja, .
Vamos verificar qual dessas propriedades o operador possui.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se F^2(x, y, z) = F(F(x, y, z)) = F(x, 0, z) = (x, 0, z) é idempotente. Isso significa calcular F^2 = F e ver se é igual a .
Aplicando duas vezes:
Comparando com , vemos que:
Então, é idempotente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se F^1(x, y, z) = (x, 0, z) F^2(x, y, z) = (x, 0, z) F^3(x, y, z) = F^2(x, y, z) = (x, 0, z) vdots é nilpotente. Para isso, precisamos encontrar um número tal que , onde é o operador que leva todo vetor ao vetor nulo.
Vamos aplicar repetidamente:
Perceba que, não importa quantas vezes aplicamos , sempre obtemos , nunca chegando ao vetor nulo a menos que e , o que não é geral. Portanto, não existe um tal que .

Resposta

O operador é idempotente e não é nilpotente.

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