Seja C o espaço vetorial dos números complexos sobre R. Consideremos F, G in L(C) assim definidas:
F(z)=(raiz22+i raiz22) z e G(z)=iz, z in C Calcular:
a) F^2;

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma transformação linear F(z) = (raiz22 + i raiz22) z definida no espaço dos números complexos sobre . A função é dada por
e queremos calcular , ou seja, aplicar a transformação duas vezes seguidas. Para isso, vamos precisar entender como compor transformações lineares e como multiplicar números complexos.

Passo 2

Primeiro, observe que a = raiz22 + i raiz22 está multiplicando o número complexo F(z) = a cdot z por um outro número complexo , onde
Então, podemos reescrever a transformação como
Isso simplifica a nossa vida, pois agora precisamos apenas pensar em como multiplicar complexos.

Passo 3

Para calcular F^2(z) = F(F(z)) = F(a cdot z) = a cdot (a cdot z) = a^2 cdot z , que significa , vamos substituir na definição de :
Então, agora precisamos encontrar o valor de .

Passo 4

Agora, vamos calcular a = raiz22 + i raiz22 . Sabemos que
a^2 = (raiz22 + i raiz22)^2
Portanto,
a^2 = (raiz22)^2 + 2 cdot raiz22 cdot i raiz22 + (i raiz22)^2
Vamos expandir essa expressão:
(raiz22)^2 = 24 = 12
Calculando cada termo:
2 cdot raiz22 cdot i raiz22 = i cdot 24 = i cdot 12
(i raiz22)^2 = i^2 cdot 24 = -1 cdot 12 = -12
a^2 = 12 + i 12 - 12 = i 12
Agora, somando tudo:
a^2 = i2
Portanto,

Resposta

F^2(z) = (i2) cdot z

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