Os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2) são vértices de um triângulo? Em caso afirmativo, determine: Os ângulos do triang<= A B C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá três pontos no espaço: A(3, 2, 1), B(3, 2, 2) e C(3, 3, 2). Primeiro, precisamos verificar se esses pontos formam um triângulo. Para isso, vamos usar a geometria no espaço tridimensional. Se os pontos não estiverem todos na mesma linha reta (ou seja, não forem colineares), eles formam um triângulo. Vamos precisar calcular as distâncias entre cada par de pontos para verificar isso.

Passo 2

Vamos calcular as distâncias entre os pontos A, B e C usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:
Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 â
Primeiro, a distância entre A e B:
AB = raiz(3-3)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1

Passo 3

Agora, a distância entre A e C:
AC = raiz(3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 approx 1,414

Passo 4

Por fim, a distância entre B e C:
BC = raiz(3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 = raiz0 + 1 + 0 = 1

Passo 5

Com as distâncias calculadas, podemos ver que nenhum dos pontos está alinhado de forma que formem uma linha reta. Como todas as distâncias são diferentes (exceto AB e BC, mas suficientemente diferentes de zero), concluímos que os pontos A, B e C não são colineares e, portanto, formam um triângulo.

Passo 6

Agora, vamos determinar os ângulos do triângulo ABC. Para isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com seus ângulos. A fórmula é:
cos(alpha) = b^2 + c^2 - a^22bc
Onde:
  • é o ângulo oposto ao lado ,
  • e são os outros dois lados.
Primeiro, identificamos os lados:

Passo 7

Vamos calcular o ângulo em A ( cos(alpha) = b^2 + c^2 - a^22bc = (raiz2)^2 + 1^2 - 1^22 times raiz2 times 1 = 2 + 1 - 12raiz2 = 22raiz2 = 1raiz2 approx 0,7071 ):
alpha = arccos(0,7071) approx 45^circ
Então,

Passo 8

Agora, calculamos o ângulo em B ( cos(beta) = a^2 + c^2 - b^22ac = 1^2 + 1^2 - (raiz2)^22 times 1 times 1 = 1 + 1 - 22 = 02 = 0 ):
beta = arccos(0) = 90^circ
Então,

Passo 9

Por fim, calculamos o ângulo em C ( gamma = 180^circ - alpha - beta = 180^circ - 45^circ - 90^circ = 45^circ ):
Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é . Então,

Resposta

Sim, os pontos A, B e C formam um triângulo. Os ângulos do triângulo ABC são aproximadamente , e .

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