Os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2) são vértices de um triângulo? Em caso afirmativo, determine: A altura do triângulo, relativa ao maior lado;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três pontos no espaço: A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2). A pergunta é: esses pontos formam um triângulo? E se formam, qual é a altura do triângulo em relação ao maior lado. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria no espaço tridimensional, como distância entre pontos e cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se esses três pontos realmente formam um triângulo. Para isso, precisamos conferir se eles não estão todos na mesma linha reta, ou seja, se não são colineares. Calculamos as distâncias entre cada par de pontos usando a fórmula da distância no espaço:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Calculando as distâncias:
  • Entre A e B:
dAB = raiz(3-3)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 0 + 1 = 1
  • Entre A e C:
dAC = raiz(3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2
  • Entre B e C:
dBC = raiz(3-3)^2 + (3-2)^2 + (2-2)^2 = raiz0 + 1 + 0 = 1
Como as distâncias não seguem uma progressão que indicaria colinearidade, concluímos que os pontos formam um triângulo.

Passo 3

Agora, vamos identificar qual é o maior lado do triângulo. Observando as distâncias que calculamos:
  • dAB = 1
  • dAC = raiz2 approx 1,414
  • dBC = 1
Portanto, o maior lado é o lado AC, com comprimento raiz2.

Passo 4

Para encontrar a altura relativa ao maior lado AC, podemos usar a fórmula da área do triângulo. A área pode ser calculada usando o produto vetorial dos vetores formados pelos lados do triângulo. Primeiro, vamos definir os vetores:
AB = B - A = (0, 0, 1)
AC = C - A = (0, 1, 1)
O produto vetorial AB times AC é:
AB times AC = i & j & k 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 = (-1, 0, 0)
A magnitude desse vetor é:
|AB times AC| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 0^2 = 1
Então, a área do triângulo é:
Área = 12 times |AB times AC| = 12 times 1 = 12 Á

Passo 5

Com a área e o comprimento do maior lado, podemos encontrar a altura h usando a fórmula:
Área = 12 times base times h Á
Substituindo os valores:
12 = 12 times raiz2 times h Rightarrow h = 1raiz2 = raiz22

Resposta

A altura do triângulo, relativa ao maior lado AC, é raiz22 unidades.

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