Determinar se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir se o operador linear dado em
é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. Aqui, estamos lidando com operadores lineares, que são funções que respeitam certas propriedades de linearidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ser idempotente e ser nilpotente, e depois verificar qual dessas características o operador
possui.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que significa um operador ser idempotente. Um operador
é idempotente se, quando aplicado duas vezes seguidas, o resultado é o próprio operador. Em outras palavras,
. Isso significa que não importa quantas vezes você aplique
, após a primeira aplicação, ele não muda mais.
Passo 3
Vamos calcular
. Isso significa aplicar o operador
duas vezes:
Então,
, que é exatamente o vetor original.
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
. Temos:
Claramente,
, porque
para qualquer
. Portanto, o operador
não é idempotente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o operador
é nilpotente. Um operador
é nilpotente se existe um número inteiro positivo
tal que
, onde
representa o operador nulo (que manda todo vetor para o vetor zero).
Já vimos que:
E se tentarmos calcular
:
E assim por diante. Vemos que, a cada aplicação de
, voltamos a alternar entre
e
. Nunca chegaremos ao operador nulo, independente de quantas vezes aplicarmos
.
Resposta
O operador
não é idempotente nem nilpotente.