Determinar se os seguintes operadores lineares do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
a) F(x, y, z)=(-x,-y,-z) ; f^2=F(-x,-x,-z)=mid x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir se o operador linear dado em R^3 é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. Aqui, estamos lidando com operadores lineares, que são funções que respeitam certas propriedades de linearidade. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é ser idempotente e ser nilpotente, e depois verificar qual dessas características o operador F(x, y, z) = (-x, -y, -z) possui.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que significa um operador ser idempotente. Um operador F é idempotente se, quando aplicado duas vezes seguidas, o resultado é o próprio operador. Em outras palavras, F^2 = F. Isso significa que não importa quantas vezes você aplique F, após a primeira aplicação, ele não muda mais.

Passo 3

Vamos calcular F^2(x, y, z). Isso significa aplicar o operador F duas vezes:
F^2(x, y, z) = F(F(x, y, z)) = F(-x, -y, -z) = (-(-x), -(-y), -(-z)) = (x, y, z)
Então, F^2(x, y, z) = (x, y, z), que é exatamente o vetor original.

Passo 4

Agora, vamos comparar F^2 com F. Temos:
F^2(x, y, z) = (x, y, z) e F(x, y, z) = (-x, -y, -z)
Claramente, F^2 neq F, porque (x, y, z) neq (-x, -y, -z) para qualquer (x, y, z) neq (0, 0, 0). Portanto, o operador F não é idempotente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se o operador F é nilpotente. Um operador F é nilpotente se existe um número inteiro positivo k tal que F^k = 0, onde 0 representa o operador nulo (que manda todo vetor para o vetor zero).
Já vimos que:
F^2(x, y, z) = (x, y, z)
E se tentarmos calcular F^3:
F^3(x, y, z) = F(F^2(x, y, z)) = F(x, y, z) = (-x, -y, -z)
E assim por diante. Vemos que, a cada aplicação de F, voltamos a alternar entre (x, y, z) e (-x, -y, -z). Nunca chegaremos ao operador nulo, independente de quantas vezes aplicarmos F.

Resposta

O operador F(x, y, z) = (-x, -y, -z) não é idempotente nem nilpotente.

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