Encontre uma base ortonormal a partir dos vetores a=2 i-j+k e b=i+j-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma base ortonormal a partir dos vetores a=2 i-j+k e b=i+j-k. A matéria que usamos aqui é Álgebra Linear, especificamente o processo de Gram-Schmidt para ortonormalização. Vamos precisar normalizar os vetores e garantir que eles sejam ortogonais entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar o vetor a. Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, sem mudar sua direção. Para isso, usamos a fórmula:
e1 = a||a||
Onde ||a|| é o módulo (ou comprimento) de a. Calculando o módulo:
||a|| = raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Então,
e1 = 2 i - j + kraiz6

Passo 3

Agora, queremos que o próximo vetor da base, e2, seja ortogonal a e1 e também tenha comprimento 1. Para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, projetamos b em e1:
proje1 b = ( b cdot e1e1 cdot e1 ) e1
Calculando o produto escalar b cdot e1:
b cdot e1 = (1)(2raiz6) + (1)(-1raiz6) + (-1)(1raiz6) = 2 -1 -1raiz6 = 0raiz6 = 0
Como a projeção deu zero, isso significa que b já é ortogonal a e1. Então, só precisamos normalizar b para obter e2:
||b|| = raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Portanto,
e2 = b||b|| = i + j - kraiz3

Resposta

A base ortonormal é dada por:
e1 = 2 i - j + kraiz6
e
e2 = i + j - kraiz3

Exercícios relacionados