Encontre uma base ortonormal a partir dos vetores
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma base ortonormal a partir dos vetores
e
. A matéria que usamos aqui é Álgebra Linear, especificamente o processo de Gram-Schmidt para ortonormalização. Vamos precisar normalizar os vetores e garantir que eles sejam ortogonais entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar o vetor
. Normalizar significa ajustar o vetor para que ele tenha comprimento 1, sem mudar sua direção. Para isso, usamos a fórmula:
Onde
é o módulo (ou comprimento) de
. Calculando o módulo:
Então,
Passo 3
Agora, queremos que o próximo vetor da base,
, seja ortogonal a
e também tenha comprimento 1. Para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt. Primeiro, projetamos
em
:
Calculando o produto escalar
:
Como a projeção deu zero, isso significa que
já é ortogonal a
. Então, só precisamos normalizar
para obter
:
Portanto,
Resposta
A base ortonormal é dada por:
e