Os pontos
e
são vértices de um triângulo? Em caso afirmativo, determine: O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;
Passo 1
Beleza, vamos ver se os pontos
,
e
formam um triângulo. A gente vai usar o conceito de pontos não colineares no espaço tridimensional. Se a área formada pelos pontos for diferente de zero, então sim, eles formam um triângulo. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e depois a área do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam os pontos. Vamos calcular os vetores
e
:
Esses vetores nos ajudam a determinar se os pontos estão na mesma linha ou não.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores
e
são colineares. Dois vetores são colineares se um for múltiplo do outro. Aqui, claramente
e
não são múltiplos entre si, então os pontos não são colineares e sim formam um triângulo.
Passo 4
Para determinar a projeção do menor lado sobre o maior lado, precisamos primeiro identificar qual é o menor e o maior lado. Vamos calcular os comprimentos dos lados
,
e
:
Então, os lados
e
têm comprimento 1, e
tem comprimento
. Assim, o maior lado é
e os menores são
e
.
Passo 5
Vamos calcular a projeção do vetor
sobre
. A fórmula para a projeção de
sobre
é:
Calculando o produto escalar
:
E
. Então,
Resposta
O vetor projeção do menor lado
sobre o maior lado
é
.