Os pontos A(3,2,1), B(3,2,2) e C(3,3,2) são vértices de um triângulo? Em caso afirmativo, determine: O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado;

Passo 1

Beleza, vamos ver se os pontos , e formam um triângulo. A gente vai usar o conceito de pontos não colineares no espaço tridimensional. Se a área formada pelos pontos for diferente de zero, então sim, eles formam um triângulo. Vamos precisar calcular os vetores que ligam esses pontos e depois a área do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que ligam os pontos. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (3-3, 2-2, 2-1) = (0, 0, 1) e AC = C - A = (3-3, 3-2, 2-1) = (0, 1, 1) :
Esses vetores nos ajudam a determinar se os pontos estão na mesma linha ou não.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores e são colineares. Dois vetores são colineares se um for múltiplo do outro. Aqui, claramente e não são múltiplos entre si, então os pontos não são colineares e sim formam um triângulo.

Passo 4

Para determinar a projeção do menor lado sobre o maior lado, precisamos primeiro identificar qual é o menor e o maior lado. Vamos calcular os comprimentos dos lados |AB| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1 , |AC| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2 e |BC| = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = 1 :
Então, os lados e têm comprimento 1, e tem comprimento . Assim, o maior lado é e os menores são e .

Passo 5

Vamos calcular a projeção do vetor projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v sobre AB cdot AC = (0)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 1 . A fórmula para a projeção de projAC AB = ( 12 ) AC = ( 12 ) (0,1,1) = (0, 12, 12) sobre é:
Calculando o produto escalar :
E . Então,

Resposta

O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado é .

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