Sejam v1 e v2 vetores não nulos, tais que
|v1+v2|=|v1-v2|
Mostre que v1 e v2 são vetores perpendiculares.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de vetores na geometria. A questão diz que, se a soma de dois vetores e tem a mesma magnitude que a diferença deles, então esses vetores são perpendiculares. Para resolver isso, a gente vai usar propriedades de magnitudes de vetores e produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a magnitude de um vetor |a + b|^2 = |a|^2 + 2,a cdot b + |b|^2 é dada por |a - b|^2 = |a|^2 - 2,a cdot b + |b|^2 e que para dois vetores e , temos:
Aqui, representa o produto interno dos vetores.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores |v1 + v2| = |v1 - v2| e |v1 + v2|^2 = |v1 - v2|^2 . Sabemos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado para facilitar os cálculos:

Passo 4

Substituindo pelas fórmulas de magnitudes que vimos:
|v1|^2 + 2,v1 cdot v2 + |v2|^2 = |v1|^2 - 2,v1 cdot v2 + |v2|^2

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação. Percebemos que 2,v1 cdot v2 = -2,v1 cdot v2 e aparecem dos dois lados e se cancelam:

Passo 6

Somando 4,v1 cdot v2 = 0 aos dois lados para isolar o termo:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 4:
v1 cdot v2 = 0

Passo 8

Quando o produto interno de dois vetores é zero, isso significa que eles são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90 graus entre si.

Resposta

Portanto, e são vetores perpendiculares.

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