Determinar se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se um operador linear específico no espaço
é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
- Operador Idempotente: Um operador
é idempotente se, ao aplicá-lo duas vezes, o resultado é o próprio operador. Ou seja, . - Operador Nilpotente: Um operador
é nilpotente se existe algum número inteiro positivo tal que, ao aplicá-lo vezes, o resultado é o operador nulo, ou seja, .
Vamos precisar verificar qual dessas condições (se alguma) o operador
satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o operador
faz. Ele pega um vetor
e o transforma em
. Isso significa que ele está basicamente fazendo um “ciclo” nas coordenadas. Agora, vamos calcular
, ou seja, aplicar o operador
duas vezes seguidas.
Passo 3
Aplicando
uma vez:
Agora, aplicando
novamente nesse resultado:
Então,
.
Passo 4
Para verificar se
é idempotente, precisamos ver se
. Vamos comparar os resultados:
Claramente,
para vetores genéricos
. Portanto,
, e então
não é idempotente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é nilpotente. Para isso, precisamos encontrar um inteiro
tal que
. Vamos calcular algumas potências de
:
- Já sabemos que
-
- Vamos calcular
:
Interessante!
, ou seja,
. Isso significa que, para todo
,
, e nunca vamos chegar em
para qualquer
. Portanto,
não é nilpotente.
Resposta
O operador
não é nem idempotente nem nilpotente.