Determinar se os seguintes operadores lineares do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
b) F(x, y, z)=(z, x, y) ; f^2=f(z, x, y)=y, z, x,)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se um operador linear específico no espaço R^3 é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. Primeiro, vamos entender o que cada termo significa:
  • Operador Idempotente: Um operador F é idempotente se, ao aplicá-lo duas vezes, o resultado é o próprio operador. Ou seja, F^2 = F.
  • Operador Nilpotente: Um operador F é nilpotente se existe algum número inteiro positivo k tal que, ao aplicá-lo k vezes, o resultado é o operador nulo, ou seja, F^k = 0.
Vamos precisar verificar qual dessas condições (se alguma) o operador F(x, y, z) = (z, x, y) satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o operador F faz. Ele pega um vetor (x, y, z) e o transforma em (z, x, y). Isso significa que ele está basicamente fazendo um “ciclo” nas coordenadas. Agora, vamos calcular F^2, ou seja, aplicar o operador F duas vezes seguidas.

Passo 3

Aplicando F uma vez:
F(x, y, z) = (z, x, y)
Agora, aplicando F novamente nesse resultado:
F^2(x, y, z) = F(z, x, y) = (y, z, x)
Então, F^2(x, y, z) = (y, z, x).

Passo 4

Para verificar se F é idempotente, precisamos ver se F^2 = F. Vamos comparar os resultados:
F(x, y, z) = (z, x, y) F^2(x, y, z) = (y, z, x)
Claramente, (y, z, x) neq (z, x, y) para vetores genéricos (x, y, z). Portanto, F^2 neq F, e então F não é idempotente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se F é nilpotente. Para isso, precisamos encontrar um inteiro k tal que F^k = 0. Vamos calcular algumas potências de F:
  • Já sabemos que F^1 = F = (z, x, y)
  • F^2 = (y, z, x)
  • Vamos calcular F^3:
F^3(x, y, z) = F(F^2(x, y, z)) = F(y, z, x) = (x, y, z)
Interessante! F^3 = Identidade, ou seja, F^3(x, y, z) = (x, y, z). Isso significa que, para todo k, F^3k = Identidade^k = Identidade, e nunca vamos chegar em F^k = 0 para qualquer k. Portanto, F não é nilpotente.

Resposta

O operador F(x, y, z) = (z, x, y) não é nem idempotente nem nilpotente.

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