Sejam
e
vetores perpendiculares entre si e
um vetor tal que
e
. Se
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, que são perpendiculares entre si. Além disso, temos um terceiro vetor,
, que forma um ângulo de
tanto com
quanto com
. As magnitudes desses vetores são
,
e
. A missão é calcular a expressão
.
Para resolver isso, vamos precisar de:
- Conhecimento sobre produtos escalares (dot product).
- Propriedades de vetores perpendiculares.
- Fórmula do produto escalar envolvendo ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles.
Como
e
são perpendiculares, o ângulo entre eles é
, e sabemos que
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão que precisamos calcular:
Como vimos no passo anterior,
, então a expressão simplifica para:
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro,
:
Usando a fórmula do produto escalar:
Usando a fórmula do produto escalar:
Multiplicando por 3:
Segundo,
:
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
Multiplicando por -2:
Terceiro,
:
Como sabemos os ângulos que forma com
e
, mas
e
são perpendiculares, podemos calcular o ângulo entre
e
. No caso, o ângulo é
.
Como sabemos os ângulos que
Então:
Multiplicando por -6:
Passo 5
Agora, vamos somar todos os termos que calculamos:
Resposta
O valor da expressão
é
.