Sejam a e b vetores perpendiculares entre si e c um vetor tal que (c, a)=60^circ e (c, b)=60^circ. Se |a|=3,|b|=5 e|c|=8, calcule (a-2 b) cdot b+3 c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , que são perpendiculares entre si. Além disso, temos um terceiro vetor, , que forma um ângulo de tanto com quanto com . As magnitudes desses vetores são , e . A missão é calcular a expressão .
Para resolver isso, vamos precisar de:
  • Conhecimento sobre produtos escalares (dot product).
  • Propriedades de vetores perpendiculares.
  • Fórmula do produto escalar envolvendo ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores u cdot v = |u| cdot |v| cdot cos(theta) e a cdot b = 0 é dado por:
onde é o ângulo entre eles.
Como e são perpendiculares, o ângulo entre eles é , e sabemos que . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão que precisamos calcular:
(a - 2b) cdot (b + 3c) = a cdot b + 3a cdot c - 2b cdot b - 6b cdot c
Como vimos no passo anterior, 3a cdot c - 2b cdot b - 6b cdot c , então a expressão simplifica para:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente.
Primeiro, a cdot c = |a| cdot |c| cdot cos(60^circ) = 3 cdot 8 cdot 0,5 = 12 :
Usando a fórmula do produto escalar:
3a cdot c = 3 cdot 12 = 36
Multiplicando por 3:
b cdot b = |b|^2 = 5^2 = 25
Segundo, -2b cdot b = -2 cdot 25 = -50 :
O produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude:
b cdot c = |b| cdot |c| cdot cos(60^circ) = 5 cdot 8 cdot 0,5 = 20
Multiplicando por -2:
-6b cdot c = -6 cdot 20 = -120
Terceiro, :
Como sabemos os ângulos que forma com e , mas e são perpendiculares, podemos calcular o ângulo entre e . No caso, o ângulo é .
Então:
Multiplicando por -6:

Passo 5

Agora, vamos somar todos os termos que calculamos:
36 - 50 - 120 = 36 - 170 = -134

Resposta

O valor da expressão é .

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