Os vetores a=i+j-3 k, b=2 i+j+3 k e c=-3 i+9 j-k formam uma base para o R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para saber se os vetores a = i + j - 3k, b = 2i + j + 3k e c = -3i + 9j - k formam uma base para o espaço tridimensional R^3. Para isso, precisamos entender o que é uma base: é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que conseguem gerar todo o espaço. Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
1 & 2 & -3 1 & 1 & 9 -3 & 3 & -1
Para saber se os vetores são linearmente independentes, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz:
det = 1 cdot 1 & 9 3 & -1 - 2 cdot 1 & 9 -3 & -1 + (-3) cdot 1 & 1 -3 & 3
Calculando cada menor:
1 & 9 3 & -1 = (1)(-1) - (9)(3) = -1 - 27 = -28
1 & 9 -3 & -1 = (1)(-1) - (9)(-3) = -1 + 27 = 26
1 & 1 -3 & 3 = (1)(3) - (1)(-3) = 3 + 3 = 6

Passo 4

Agora, substituindo de volta no determinante:
det = 1 cdot (-28) - 2 cdot 26 + (-3) cdot 6 = -28 - 52 - 18 = -98

Passo 5

O determinante calculado foi -98, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Sim, os vetores a, b e c formam uma base para o R^3.

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