Determinar se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o operador linear
no espaço
é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. O operador dado é:
E sabemos que:
Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significam ser idempotente e nilpotente.
Passo 2
Primeiro, idempotente! Um operador
é idempotente se, aplicando ele duas vezes, o resultado é o próprio operador. Em outras palavras:
Isso significa que:
Vamos ver se isso acontece com o nosso operador.
Passo 3
Calculando
:
Comparando com
, vemos que:
Então,
não é idempotente.
Passo 4
Agora, vamos ver sobre nilpotência. Um operador
é nilpotente se existe algum número inteiro
tal que:
Ou seja, aplicando o operador
vezes, ele transforma qualquer vetor no vetor zero.
Passo 5
Vamos ver os poderes de
:
- Já vimos que
(a função identidade). - Vamos calcular
:
- E
:
Podemos ver que isso vai alternar entre
e
, nunca chegando ao zero. Portanto, não existe um
onde
.
Resposta
O operador
não é nem idempotente nem nilpotente.