Determinar se os seguintes operadores lineares do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
F(x, y, z)=(-x,-y,-z) ; f^2=F(-x,-x,-z)=(x, y, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o operador linear F(x, y, z) = (-x, -y, -z) no espaço F^2(x, y, z) = F(F(x, y, z)) = (x, y, z) é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. O operador dado é:
E sabemos que:
Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significam ser idempotente e nilpotente.

Passo 2

Primeiro, idempotente! Um operador F^2 = F é idempotente se, aplicando ele duas vezes, o resultado é o próprio operador. Em outras palavras:
F(F(x, y, z)) = F(x, y, z)
Isso significa que:
Vamos ver se isso acontece com o nosso operador.

Passo 3

Calculando F^2(x, y, z) = F(F(x, y, z)) = F(-x, -y, -z) = (-(-x), -(-y), -(-z)) = (x, y, z) :
F^2(x, y, z) neq F(x, y, z)
Comparando com , vemos que:
Então, não é idempotente.

Passo 4

Agora, vamos ver sobre nilpotência. Um operador F^k = 0 é nilpotente se existe algum número inteiro tal que:
Ou seja, aplicando o operador vezes, ele transforma qualquer vetor no vetor zero.

Passo 5

Vamos ver os poderes de F^3(x, y, z) = F(F^2(x, y, z)) = F(x, y, z) = (-x, -y, -z) :
  • Já vimos que F^4(x, y, z) = F(F^3(x, y, z)) = F(-x, -y, -z) = (x, y, z) (a função identidade).
  • Vamos calcular :
  • E :
Podemos ver que isso vai alternar entre e , nunca chegando ao zero. Portanto, não existe um onde .

Resposta

O operador não é nem idempotente nem nilpotente.

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