Determinar se os seguintes operadores lineares do são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o operador linear no espaço é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. O operador dado é:
E sabemos que:
Para resolver isso, vamos primeiro entender o que significam ser idempotente e nilpotente.
Passo 2
Primeiro, idempotente! Um operador é idempotente se, aplicando ele duas vezes, o resultado é o próprio operador. Em outras palavras:
Isso significa que:
Vamos ver se isso acontece com o nosso operador.
Passo 3
Calculando :
Comparando com , vemos que:
Então, não é idempotente.
Passo 4
Agora, vamos ver sobre nilpotência. Um operador é nilpotente se existe algum número inteiro tal que:
Ou seja, aplicando o operador vezes, ele transforma qualquer vetor no vetor zero.
Passo 5
Vamos ver os poderes de :
Já vimos que (a função identidade).
Vamos calcular :
E :
Podemos ver que isso vai alternar entre e , nunca chegando ao zero. Portanto, não existe um onde .