Determinar o simétrico do ponto A=(12, 2,-2) em relação ao ponto M=(32,-4,4).

Passo 1

Então, o exercício pede para encontrar o ponto simétrico de em relação ao ponto . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre pontos simétricos em relação a um ponto dado. Para resolver, precisamos entender como calcular o ponto que fica exatamente “do outro lado” de em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o ponto simétrico em relação a outro ponto. Se queremos encontrar o ponto simétrico de em relação a , isso significa que é o ponto médio do segmento que liga a . Em outras palavras, está exatamente no meio entre e .

Passo 3

Para encontrar M = ( xA + xB2, yA + yB2, zA + zB2 ) , podemos usar a fórmula do ponto médio. Se é o ponto médio entre e , então as coordenadas de são a média das coordenadas de e . A fórmula é:
Queremos encontrar , então podemos rearranjar a fórmula para cada coordenada.

Passo 4

Vamos calcular cada coordenada de xA + xB2 = xM Rightarrow xB = 2xM - xA individualmente. Sabemos que:
yA + yB2 = yM Rightarrow yB = 2yM - yA
zA + zB2 = zM Rightarrow zB = 2zM - zA
Agora, substituímos os valores conhecidos de e .

Passo 5

Calculando a coordenada xB = 2 times 32 - 12 = 3 - 12 = 52 de yB = 2 times (-4) - 2 = -8 - 2 = -10 :
zB = 2 times 4 - (-2) = 8 + 2 = 10
Calculando a coordenada de :
Calculando a coordenada de :

Resposta

O ponto simétrico de em relação a é .

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