Resolver o sistema
l x+2 y+z+t=1 x+3 y-z+2 t=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! A gente tem duas equações com quatro incógnitas: , , e . O conteúdo que vamos usar aqui é a resolução de sistemas lineares, que envolve manipular as equações para encontrar valores para as incógnitas. Para isso, vamos precisar usar eliminação e expressar variáveis em função de outras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas equações que temos:
x + 2y + z + t = 1 x + 3y - z + 2t = 3
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para facilitar a resolução. Vamos eliminar o subtraindo a primeira equação da segunda.

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(x + 3y - z + 2t) - (x + 2y + z + t) = 3 - 1
Simplificando os termos:
x - x + 3y - 2y - z - z + 2t - t = 2
O que resulta em:
y - 2z + t = 2
Agora, temos uma nova equação simplificada:
y - 2z + t = 2 (Equação 3) çã

Passo 4

Como temos quatro variáveis e apenas duas equações, vamos escolher duas variáveis para serem livres, ou seja, podemos atribuir valores a elas e expressar as outras em função dessas. Vamos escolher e como livres.
Vamos chamar e , onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 5

Com y - 2s + r = 2 e y = 2 + 2s - r , vamos substituir na Equação 3 para encontrar :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos substituir x + 2(2 + 2s - r) + s + r = 1 , x + 4 + 4s - 2r + s + r = 1 e x + 5s - r + 4 = 1 na primeira equação original para encontrar x = 1 - 4 - 5s + r :
x = -3 - 5s + r
Simplificando:
Isolando :

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x = -3 - 5s + r y = 2 + 2s - r z = s t = r
onde e são quaisquer números reais.

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