Determinar se o sistema linear lx1-x2+x3=0 2 x1+x2=0 2 x1-2 x2+2 x3=0 admite solução não trivial.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas , e . A pergunta é: esse sistema tem uma solução que não seja aquela básica onde todas as incógnitas são zero? Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que multiplicam cada incógnita nas equações:
1 & -1 & 1 2 & 1 & 0 2 & -2 & 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, significa que as equações são linearmente dependentes e o sistema tem infinitas soluções (incluindo soluções não triviais). Se for diferente de zero, a única solução é a trivial.

Passo 4

Calculando o determinante:
det = 1 times (1 times 2 - 0 times (-2)) - (-1) times (2 times 2 - 0 times 2) + 1 times (2 times (-2) - 1 times 2)
det = 1 times (2 - 0) - (-1) times (4 - 0) + 1 times (-4 - 2)
det = 2 + 4 - 6 = 0

Passo 5

O determinante deu zero, então a matriz dos coeficientes é singular. Isso significa que as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções, ou seja, existem soluções onde pelo menos uma das incógnitas é diferente de zero.

Resposta

Sim, o sistema admite soluções não triviais.

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