Determinar se o sistema linear admite solução não trivial.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas , e . A pergunta é: esse sistema tem uma solução que não seja aquela básica onde todas as incógnitas são zero? Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que multiplicam cada incógnita nas equações:
1 & -1 & 1 2 & 1 & 0 2 & -2 & 2
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, significa que as equações são linearmente dependentes e o sistema tem infinitas soluções (incluindo soluções não triviais). Se for diferente de zero, a única solução é a trivial.
Passo 4
Calculando o determinante:
det = 1 times (1 times 2 - 0 times (-2)) - (-1) times (2 times 2 - 0 times 2) + 1 times (2 times (-2) - 1 times 2)
det = 1 times (2 - 0) - (-1) times (4 - 0) + 1 times (-4 - 2)
det = 2 + 4 - 6 = 0
Passo 5
O determinante deu zero, então a matriz dos coeficientes é singular. Isso significa que as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções, ou seja, existem soluções onde pelo menos uma das incógnitas é diferente de zero.