Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
o) O = { x em R | (x - 2)^2 != 0 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar, se existirem, o ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo do conjunto . Isso tudo faz parte do estudo de conjuntos na reta real e envolve entender conceitos como pontos de acumulação, máximos, mínimos, supremos e ínfimos. Para resolver, vamos precisar conhecer essas definições e aplicar um pouco de raciocínio sobre os números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o conjunto . A condição significa que estamos excluindo o valor de que faz igual a zero. Resolvendo a equação , temos . Então, o conjunto é todo número real menos o 2, ou seja:
Isso significa que inclui todos os números reais, exceto 2.

Passo 3

Agora, vamos procurar os pontos de acumulação desse conjunto. Um ponto de acumulação é um valor onde, mesmo que o próprio ponto não esteja no conjunto, sempre conseguimos encontrar números do conjunto arbitrariamente próximos a ele.
No nosso caso, como é todo o conjunto dos números reais menos 2, qualquer número real, inclusive 2, pode ser um ponto onde números de estão se acumulando. Por exemplo, perto de 2, temos números como 1.9, 2.1, 1.99, 2.01, e assim por diante, que estão em . Além disso, como se estende infinitamente em ambas as direções, qualquer outro ponto real também será um ponto de acumulação para .
Então, todos os números reais são pontos de acumulação do conjunto .

Passo 4

Vamos verificar agora se existem mínimo e máximo no conjunto . O mínimo de um conjunto é o menor elemento que pertence a ele, e o máximo é o maior elemento.
Como é todo número real menos 2, não há um menor ou maior número no conjunto. Isso porque para qualquer número que você escolher, sempre existe outro número menor ou maior. Por exemplo, se você pensa em 100, sempre pode encontrar um número maior, como 1000, que também está em . O mesmo vale para os números menores.
Portanto, o conjunto não possui mínimo nem máximo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar o supremo e o ínfimo do conjunto . O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto, e o ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos.
No caso do conjunto , que é todo número real menos 2, não há um supremo ou ínfimo porque os números continuam infinitamente em ambas as direções sem um limite superior ou inferior. Em termos matemáticos:
  • Supremo de : Não existe, pois não tem um limite superior.
  • Ínfimo de : Não existe, pois não tem um limite inferior.

Resposta

Todos os números reais são pontos de acumulação do conjunto . O conjunto não possui ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo nem ínfimo.

Exercícios relacionados

Encontre, se existirem, ponto de acumulação, ponto de máximo, ponto de mínimo, supremo e ínfimo dos seguintes conjuntos:
k) K = {x em R / (x-2)/(x+3) <= 0}
Determinar a solução do P.V.I: d y / d x = x^2 / (y(1 + x^3)), y(0) = 2.
Verifique que a EDO (x^2 + 2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy - 1) dy = 0 é exata e em seguida resolva-a.
Dê um exemplo
b) Um conjunto com infinitos elementos e um único ponto de acumulação.