Determinar a solução da equação de Bernoulli
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli:
. Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo Bernoulli, que é uma forma específica que pode ser resolvida usando uma substituição que a transforma em uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para se parecer mais com a forma padrão da equação de Bernoulli. A forma padrão é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por
:
Agora, podemos identificar
,
e
.
Passo 3
Agora, para resolver a equação de Bernoulli, usamos uma substituição que nos ajuda a transformar a equação em uma equação linear. Definimos:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Rearranjando a equação, temos:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Fica:
Dividindo tudo por
:
Como
, substituímos:
Passo 6
Agora, essa é uma equação diferencial linear na forma:
Onde
e
.
Para resolver, usamos um fator integrante, que é:
Passo 7
Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 8
A equação pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução da equação de Bernoulli é:
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Determine o domínio das seguintes funções:
c) ,
c)
Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
b)
b)
Determine o domínio das seguintes funções:
g)
g)
Resolva os seguintes problemas de valor inicial: