Determinar a solução da equação de Bernoulli x^2 dy/dx - x y = -y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli: . Estamos lidando com uma equação diferencial do tipo Bernoulli, que é uma forma específica que pode ser resolvida usando uma substituição que a transforma em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para se parecer mais com a forma padrão da equação de Bernoulli. A forma padrão é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por :
Agora, podemos identificar , e .

Passo 3

Agora, para resolver a equação de Bernoulli, usamos uma substituição que nos ajuda a transformar a equação em uma equação linear. Definimos:

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Rearranjando a equação, temos:

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Fica:
Dividindo tudo por :
Como , substituímos:

Passo 6

Agora, essa é uma equação diferencial linear na forma:
Onde e .
Para resolver, usamos um fator integrante, que é:

Passo 7

Multiplicamos a equação inteira pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 8

A equação pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:

Passo 10

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução da equação de Bernoulli é:

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