Determine o conjunto derivado de cada um dos subconjuntos de R. Encontre o supremo e o ínfimo dos seguintes conjuntos.
b) B = { n^((-1)^n) : n em N }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o conjunto derivado do conjunto e também encontrar o seu supremo e ínfimo. Para isso, vamos lembrar de alguns conceitos de análise de conjuntos, limites e propriedades de supremum e ínfimo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o conjunto . A expressão varia dependendo se é par ou ímpar. Vamos analisar alguns valores para visualizar:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
E assim por diante. Percebemos que quando é ímpar, a expressão resulta em , e quando é par, resulta em .

Passo 3

Com isso em mente, podemos reescrever o conjunto como a união de dois subconjuntos:
ééí
Então, é composto por todos os números pares e pelos inversos dos números ímpares.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o conjunto derivado de , que é o conjunto de todos os pontos de acumulação de .
  1. Para os números pares: À medida que aumenta, os números pares também aumentam sem limite. Isso significa que não há nenhum número real que seja um ponto de acumulação para essa parte do conjunto, pois os números estão “escapando” para o infinito.
  2. Para os inversos dos ímpares: Conforme aumenta, se aproxima cada vez mais de 0. Portanto, 0 é um ponto de acumulação, já que há números em arbitrariamente próximos a 0.
Assim, o conjunto derivado de é:

Passo 5

Por último, vamos determinar o supremo e o ínfimo de :
  • Supremo ( ): O supremo é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . Como o conjunto de números pares vai aumentando sem limite, o supremo de é .
  • Ínfimo ( ): O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos de . Observamos que os inversos dos ímpares se aproximam de 0, mas nunca chegam a 0. Portanto, o ínfimo de é 0.

Resposta

Conjunto derivado de :
Supremo de :
Ínfimo de :

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Dê um exemplo
b) Um conjunto com infinitos elementos e um único ponto de acumulação.
Verifique que a EDO (x^2 + 2xy + y^2) dx + (x^2 + 2xy - 1) dy = 0 é exata e em seguida resolva-a.
Determine o domínio das seguintes funções:
c) f(x) = (x + 2) / (x + 1),
Determinar a solução da equação de Bernoulli x^2 dy/dx - x y = -y^2.