Determinar uma solução geral para a equação diferencial
.
Passo 1
Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial
. Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois uma solução específica para a parte não homogênea, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
. Para isso, buscamos soluções da forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, a equação característica é
, que tem raízes complexas:
Isso nos leva à solução geral da equação homogênea:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, que é uma função trigonométrica, vamos usar o método de variação de parâmetros. Esse método considera a solução homogênea encontrada no passo anterior para construir a solução particular.
Passo 4
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 5
Derivamos
:
E novamente derivamos para obter
:
Substituímos
e suas derivadas na equação original
:
Passo 6
Para simplificar os cálculos, fazemos as seguintes suposições:
Essas equações ajudam a determinar
e
.
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
e somando, conseguimos achar
:
Simplificando:
Mas, usando a identidade
, podemos reorganizar para encontrar
.
Passo 8
Após resolver o sistema, calculamos as integrais para encontrar
e
. Isso envolve integrar funções envolvendo
e funções trigonométricas, o que pode ser complexo e requer o uso de identidades trigonométricas e substituições adequadas.
Passo 9
Finalmente, substituímos
e
na expressão de
obtida no Passo 4 para obter a solução particular.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
é a solução particular obtida através do método de variação de parâmetros.
Exercícios relacionados
Uma empresa está analisando o custo
para produzir
unidades de um produto. 0 curso médio de produção é dado por
. Suponha que o custo total
seja modelado pela função
.
Interprete o resultado no contexto da produção.
Interprete o resultado no contexto da produção.
Encontre uma solução particular
para a equação diferencial
.
Considere uma população de bactérias que cresce segundo a função
, onde
representa o tempo em horas.
O que esse limite indica sobre o comportamento da população de bactérias ao longo do prazo?
O que esse limite indica sobre o comportamento da população de bactérias ao longo do prazo?
O método dos coeficientes indeterminados pode ser aplicado para encontrar uma solução particular da equação
sect.