Determinar uma solução geral para a equação diferencial y'' + y = sec^3(t).

Passo 1

Vamos resumir o que a gente tem aqui: precisamos encontrar uma solução geral para a equação diferencial . Isso envolve trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar achar primeiro a solução da equação homogênea associada e depois uma solução específica para a parte não homogênea, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente: . Para isso, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, a equação característica é , que tem raízes complexas:
Isso nos leva à solução geral da equação homogênea:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , que é uma função trigonométrica, vamos usar o método de variação de parâmetros. Esse método considera a solução homogênea encontrada no passo anterior para construir a solução particular.

Passo 4

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
No método de variação de parâmetros, assumimos que a solução particular tem a forma:
onde e são funções a serem determinadas.

Passo 5

Derivamos :
E novamente derivamos para obter :
Substituímos e suas derivadas na equação original :

Passo 6

Para simplificar os cálculos, fazemos as seguintes suposições:
Essas equações ajudam a determinar e .

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e somando, conseguimos achar :
Simplificando:
Mas, usando a identidade , podemos reorganizar para encontrar .

Passo 8

Após resolver o sistema, calculamos as integrais para encontrar e . Isso envolve integrar funções envolvendo e funções trigonométricas, o que pode ser complexo e requer o uso de identidades trigonométricas e substituições adequadas.

Passo 9

Finalmente, substituímos e na expressão de obtida no Passo 4 para obter a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular encontrada:
onde e são constantes arbitrárias, e é a solução particular obtida através do método de variação de parâmetros.

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