Encontre uma solução particular y(p) para a equação diferencial 2 y'' + y = 9 e^2 t.

Passo 1

Beleza, temos a equação diferencial . Vamos resolver isso encontrando uma solução particular para essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método de coeficientes indeterminados. Precisamos entender como aplicar esse método para encontrar a solução que se ajusta ao lado direito da equação, que é uma função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Agora, queremos encontrar uma solução particular para essa equação.

Passo 3

Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo quando o lado direito da equação é uma função exponencial, um polinômio, uma senoide ou uma combinação desses. Como temos , vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde é uma constante que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituímos , na equação original:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução particular para a equação diferencial é:

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