Encontre uma solução particular
para a equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, temos a equação diferencial
. Vamos resolver isso encontrando uma solução particular para essa equação. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e o método de coeficientes indeterminados. Precisamos entender como aplicar esse método para encontrar a solução que se ajusta ao lado direito da equação, que é uma função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar:
Dividindo tudo por 2 para simplificar:
Agora, queremos encontrar uma solução particular
para essa equação.
Passo 3
Usamos o método dos coeficientes indeterminados, que é ótimo quando o lado direito da equação é uma função exponencial, um polinômio, uma senoide ou uma combinação desses. Como temos
, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
é uma constante que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituímos
,
na equação original:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial é: