Uma empresa está analisando o custo C(x) para produzir x unidades de um produto. 0 curso médio de produção é dado por M(x) = C(x) / x. Suponha que o custo total C(x) seja modelado pela função C(x) = 5x + 100/x.
Interprete o resultado no contexto da produção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os custos de uma empresa para produzir um certo número de produtos. A gente tem a função do custo total e o custo médio . Nosso objetivo é interpretar o resultado desses cálculos no contexto da produção, ou seja, entender como o custo médio muda conforme a produção varia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o custo médio . Sabemos que . Substituindo a função do custo total:
Então, a função do custo médio é .

Passo 3

Agora, vamos entender o que essa função nos diz. O custo médio é o custo por unidade produzida. Aqui, tem duas partes: uma constante e uma parte que depende de , que é .

Passo 4

A parte representa um custo fixo por unidade. Já a parte diminui conforme a quantidade aumenta. Isso acontece porque, à medida que producimos mais unidades, o impacto desse termo diminui, refletindo economias de escala.

Passo 5

Para aprofundar, vamos ver o que acontece quando aumenta:
  • Se aumenta, diminui, fazendo com que se aproxime de .
  • Se diminui, aumenta, fazendo com que seja maior que .
Isso mostra que produzir mais unidades reduz o custo médio até chegar a um mínimo de .

Passo 6

Podemos também encontrar o valor de que minimiza o custo médio. Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Contudo, essa derivada nunca é zero para . Isso indica que não há um ponto de mínimo local, mas sabemos que à medida que cresce, se aproxima de .

Passo 7

Portanto, o custo médio sempre será maior que e vai diminuindo conforme a produção aumenta, estabilizando-se em unidades monetárias por produto no limite.

Resposta

O custo médio de produção diminui à medida que a quantidade produzida aumenta, aproximando-se de R$5 por unidade. Isso mostra que produzir mais reduz o custo por produto, atingindo um mínimo de R$5 conforme a produção cresce.

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