Uma empresa está analisando o custo
para produzir
unidades de um produto. 0 curso médio de produção é dado por
. Suponha que o custo total
seja modelado pela função
.
Interprete o resultado no contexto da produção.
Interprete o resultado no contexto da produção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre os custos de uma empresa para produzir um certo número de produtos. A gente tem a função do custo total
e o custo médio
. Nosso objetivo é interpretar o resultado desses cálculos no contexto da produção, ou seja, entender como o custo médio muda conforme a produção varia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o custo médio
. Sabemos que
. Substituindo a função do custo total:
Então, a função do custo médio é
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que essa função nos diz. O custo médio é o custo por unidade produzida. Aqui,
tem duas partes: uma constante
e uma parte que depende de
, que é
.
Passo 4
A parte
representa um custo fixo por unidade. Já a parte
diminui conforme a quantidade
aumenta. Isso acontece porque, à medida que producimos mais unidades, o impacto desse termo diminui, refletindo economias de escala.
Passo 5
Para aprofundar, vamos ver o que acontece quando
aumenta:
- Se
aumenta, diminui, fazendo com que se aproxime de . - Se
diminui, aumenta, fazendo com que seja maior que .
Isso mostra que produzir mais unidades reduz o custo médio até chegar a um mínimo de
.
Passo 6
Podemos também encontrar o valor de
que minimiza o custo médio. Para isso, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Contudo, essa derivada nunca é zero para
. Isso indica que não há um ponto de mínimo local, mas sabemos que à medida que
cresce,
se aproxima de
.
Passo 7
Portanto, o custo médio sempre será maior que
e vai diminuindo conforme a produção aumenta, estabilizando-se em
unidades monetárias por produto no limite.
Resposta
O custo médio de produção diminui à medida que a quantidade produzida aumenta, aproximando-se de R$5 por unidade. Isso mostra que produzir mais reduz o custo por produto, atingindo um mínimo de R$5 conforme a produção cresce.
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para a equação diferencial
.
Calcule os seguintes limites:
Determinar uma solução geral para a equação diferencial
.
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, onde
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