Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Nesse exercício, vamos trabalhar com equações diferenciais lineares de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, a equação sem o termo :

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), obtemos a equação característica:

Passo 4

Fatorando a equação característica:
Então, as raízes são:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Portanto, as raízes são:

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral da parte homogênea é:
onde , e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos tentar uma solução particular da forma:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação completa:
Isso nos dá:
Aqui vemos que a equação não está balanceada para todos os termos, indicando que nossa suposição inicial está incorreta. Para corrigir isso, vamos tentar uma solução particular da forma:
Novamente, substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todos os , temos:
Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa hipótese. Vamos tentar:
Substituindo nas derivadas:
Substituindo na equação:
Agora, igualando os coeficientes:
éí
Isso significa que precisamos incluir um termo quadrático. Portanto, tentamos:
Substituindo novamente, não funciona. Então, incluímos um termo quadrático:
Percebemos que houve um erro de percurso. Na verdade, devemos tentar uma solução particular da forma:
E assim, ajustamos os coeficientes para encontrar uma solução válida.

Passo 8

Após ajustar corretamente, encontramos os valores de e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Podemos simplificar combinando constantes:
Como é apenas uma constante, podemos renomeá-la como .

Resposta

Exercícios relacionados

Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do Caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do Caso):
.