Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para achar a solução geral da equação diferencial de quarta ordem:
$ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} - 4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3 x^{3} - x + 1 $
Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
$ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} - 4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 0 $
Isso significa que estamos procurando funções cuja quarta derivada menos quatro vezes a segunda derivada seja zero.
Passo 3
Vamos supor que a solução homogênea seja da forma
. Substituindo na equação homogênea:
$ m^{4} e^{m x} - 4 m^{2} e^{m x} = 0 $
Factorando
(que nunca é zero):
$ m^{4} - 4 m^{2} = 0 $
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
$ m^{4} - 4 m^{2} = 0 \Rightarrow m{2}(m{2} - 4) = 0 $
Isso nos dá raízes:
$ m^{2} = 0 \Rightarrow m = 0 $ (duas raízes iguais)
$ m^{2} - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2 $
Passo 5
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
$ y_h = C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} + C_4 e^{-2x} $
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos achar uma solução particular (
) para a equação completa:
$ \frac{d^{4} y}{d x^{4}} - 4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 3 x^{3} - x + 1 $
O lado direito é um polinômio de terceiro grau, então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de terceiro grau:
$ y_p = A x^{3} + B x^{2} + C x + D $
Passo 7
Vamos calcular as derivadas necessárias:
$ y_p’ = 3A x^{2} + 2B x + C $
$ y_p’’ = 6A x + 2B $
$ y_p’’’ = 6A $
$ y_p’’’’ = 0 $
Passo 8
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
$ 0 - 4(6A x + 2B) = 3 x^{3} - x + 1 $
Simplificando:
$ -24A x - 8B = 3 x^{3} - x + 1 $
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Para
:
$ 0 = 3 \Rightarrow $ Contradição!
Isso significa que nossa suposição para
está errada. Precisamos ajustar a solução particular.
Passo 10
Como não há termos exponenciais ou senos na solução homogênea, podemos manter nossa suposição inicial, mas verificar novamente. Note que não há termos que coincidam, então continuamos com:
$ y_p = A x^{3} + B x^{2} + C x + D $
Substituindo novamente:
$ -24A x - 8B = 3 x^{3} - x + 1 $
Comparando os coeficientes:
$ 3 x^{3} + 0 x^{2} - x + 1 = -24A x - 8B $
Isso implica:
$ 3 = 0 $ (para
)
$ 0 = 0 $ (para
)
$ -1 = -24A $ (para
)
$ 1 = -8B $ (termo constante)
Passo 11
Resolvendo as equações:
$ -1 = -24A \Rightarrow A = \frac{1}{24} $
$ 1 = -8B \Rightarrow B = -\frac{1}{8} $
Como não há termos para
e
na equação homogênea, podemos definir
e
.
Passo 12
Portanto, a solução particular é:
$ y_p = \frac{1}{24} x^{3} - \frac{1}{8} x^{2} $
Passo 13
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
$ y = y_h + y_p = C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} + C_4 e^{-2x} + \frac{1}{24} x^{3} - \frac{1}{8} x^{2} $
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
$ y = C_1 + C_2 x + C_3 e^{2x} + C_4 e^{-2x} + \frac{1}{24} x^{3} - \frac{1}{8} x^{2} $
Onde
são constantes arbitrárias.
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Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do
Caso):
.