Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
Isso faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares. Pra resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (onde a parte direita é zero) com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa supondo que a solução tem a forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), sobra:
Então, os valores de
são:
Passo 4
Com os valores de
, a solução da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Onde
,
e
são coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 8
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
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