Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
Isso faz parte do estudo das Equações Diferenciais Lineares. Pra resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (onde a parte direita é zero) com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa supondo que a solução tem a forma .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), sobra:
Então, os valores de são:

Passo 4

Com os valores de , a solução da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Onde , e são coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 8

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
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Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
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