Determinar a solução geral das seguintes equações (do
Caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem do segundo caso:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Isso é uma equação quadrática, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solu�o particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
simplificando:
Passo 8
Dividindo os dois lados por
:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.