Determinar a solução geral das seguintes equações (do Caso):
a d^2y/dx^2 - 3 dy/dx + 2y = e^(-x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial de segunda ordem do segundo caso:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da equação homogênea associada e uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo y por :

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Isso é uma equação quadrática, que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma soluç��o particular ( ) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é e^-x, tentamos uma solução da forma:
onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
simplificando:

Passo 8

Dividindo os dois lados por e^-x:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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