Determinar a solução geral das seguintes equações (do
Caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a combinação da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, vamos encontrar a equação característica, que é obtida substituindo
na equação homogênea:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
:
Isso nos dá as raízes
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é uma exponencial
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Isso nos mostra que
não funciona porque leva a uma identidade impossível. Isso acontece porque
já é solução da equação homogênea.
Passo 7
Quando isso acontece, precisamos multiplicar nossa suposição por
para obter uma solução particular válida. Então, tentamos
.
Passo 8
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação original:
Passo 9
Igualando os coeficientes, temos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes quaisquer.
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