Determinar a solução geral das seguintes equações (do Caso):
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que é a combinação da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, vamos encontrar a equação característica, que é obtida substituindo na equação homogênea:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica :
Isso nos dá as raízes e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é uma exponencial , tentamos uma solução particular da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:
Isso nos mostra que não funciona porque leva a uma identidade impossível. Isso acontece porque já é solução da equação homogênea.

Passo 7

Quando isso acontece, precisamos multiplicar nossa suposição por para obter uma solução particular válida. Então, tentamos .

Passo 8

Calculamos as derivadas de :
Substituímos na equação original:

Passo 9

Igualando os coeficientes, temos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes quaisquer.

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