Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é misturada. O enunciado é:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular para os termos do lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, assumimos uma solução da forma
. Derivando e substituindo na equação, temos:
Dividindo por
, que nunca é zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes reais:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para o lado direito da equação:
Vamos tratar cada termo separadamente.
Passo 6
Primeiro, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então:
Portanto:
Passo 7
Agora, para o termo
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso resulta em:
Passo 8
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:
Passo 9
A solução particular completa é a soma de
e
:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.