Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem que é misturada. O enunciado é:
Esse tipo de problema faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares. Vamos precisar encontrar a solução geral dessa equação, que inclui a solução da parte homogênea e uma solução particular para os termos do lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, quando o lado direito é zero:
Para isso, assumimos uma solução da forma . Derivando e substituindo na equação, temos:
Dividindo por , que nunca é zero:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá duas raízes reais:

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houverem.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o lado direito da equação:
Vamos tratar cada termo separadamente.

Passo 6

Primeiro, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Então:
Portanto:

Passo 7

Agora, para o termo , assumimos uma solução particular da forma:
Derivando:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Isso resulta em:

Passo 8

Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto:

Passo 9

A solução particular completa é a soma de e :

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação é:

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Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.