Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me enviou: . A gente vai trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para encontrar a solução geral dessa equação, a gente monta a equação característica, substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos uma raiz dupla:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa: .
Como o lado direito é e já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar soluções coincidentes. Vamos supor uma forma para :
Onde e são constantes que vamos determinar substituindo na equação original.

Passo 4

Substituindo na equação diferencial e igualando os coeficientes, conseguimos resolver para e . Após os cálculos, encontramos:
Então, a solução particular fica:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Encontre tais que .
Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.