Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me enviou:
. A gente vai trabalhar com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. O que precisamos fazer é encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para encontrar a solução geral dessa equação, a gente monta a equação característica, substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos uma raiz dupla:
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
.
Como o lado direito é
e
já está na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar soluções coincidentes. Vamos supor uma forma para
:
Onde
e
são constantes que vamos determinar substituindo
na equação original.
Passo 4
Substituindo
na equação diferencial e igualando os coeficientes, conseguimos resolver para
e
. Após os cálculos, encontramos:
Então, a solução particular fica:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Encontre
tais que
.
Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Determinar a solução geral das seguintes equações (do 1 ㅇ Caso):
.