Determinar a solução geral das seguintes equações (do
Caso):
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes. Para solucionar, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções da forma
.
Passo 3
A equação característica correspondente é:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é
e
já está na solução homogênea
, devemos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Assim, tentamos:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Isso indica que nossa suposição inicial para
não funcionou, então precisamos multiplicar por
novamente.
Passo 8
Tentamos então:
Calculando as derivadas:
Passo 9
Substituindo novamente na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá
.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.