Determinar a solução geral das seguintes equações (do Caso):
d^2y/dx^2 - 2dy/dx + y = 2e^x.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes. Para solucionar, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a equação homogênea associada:
Para resolver essa equação, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções da forma .

Passo 3

A equação característica correspondente é:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o termo não homogêneo é e já está na solução homogênea , devemos multiplicar por para encontrar a solução particular. Assim, tentamos:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Isso indica que nossa suposição inicial para não funcionou, então precisamos multiplicar por novamente.

Passo 8

Tentamos então:
Calculando as derivadas:

Passo 9

Substituindo novamente na equação original:
Simplificando:
Isso nos dá .

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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