Determinar a solução geral das seguintes equações (do
Caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) mais uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos
na equação homogênea, o que nos leva à equação quadrática:
Resolvendo essa equação, encontramos as raízes iguais:
Passo 3
Com as raízes da equação característica iguais a 2, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
e já faz parte da solução homogênea, precisamos multiplicar por
para evitar repetição. Assim, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 5
Vamos derivar
para encontrar
e
, e então substituir na equação original:
Substituindo na equação:
Simplificando e agrupando termos:
Dessa forma, encontramos:
Resposta
A solução geral da equação é: