Determinar a solução geral das seguintes equações (do Caso):
c d^2y/dx^2 - 4 dy/dx + 4y = 3 e^(2x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (com o lado direito igual a zero) mais uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Para resolver isso, usamos a equação característica. Substituímos na equação homogênea, o que nos leva à equação quadrática:
Resolvendo essa equação, encontramos as raízes iguais:

Passo 3

Com as raízes da equação característica iguais a 2, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com as condições iniciais, se tiver.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é e já faz parte da solução homogênea, precisamos multiplicar por para evitar repetição. Assim, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 5

Vamos derivar para encontrar e , e então substituir na equação original:
Substituindo na equação:
Simplificando e agrupando termos:
Dessa forma, encontramos:

Resposta

A solução geral da equação é:

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