Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
b d^2y/dx^2 + 4 dy/dx = 3 cos(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da parte homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, encontramos a equação característica substituindo :

Passo 3

Resolvendo a equação característica , fatoramos:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde e são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, vamos achar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , tentamos uma solução do tipo:

Passo 6

Calculando as derivadas de :

Passo 7

Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Comparando os coeficientes dos termos e :
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então, .

Passo 9

Agora, temos a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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