Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. A gente vai usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Precisamos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da parte homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, encontramos a equação característica substituindo
:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, fatoramos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da parte homogênea é:
Onde
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, vamos achar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, tentamos uma solução do tipo:
Passo 6
Calculando as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Comparando os coeficientes dos termos
e
:
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Então,
.
Passo 9
Agora, temos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.