Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea (
) e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma
. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes reais e distintas
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, tentaremos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Então, a equação fica:
Passo 9
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados:
Passo 10
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituímos
na equação (1):
Então:
Passo 11
Agora que temos
e
, a solução particular é:
Passo 12
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.