Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
a d^2y/dx^2 - 3 dy/dx + 2y = 2 sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que temos é:
Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Precisaremos encontrar a solução geral dessa equação, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, assumimos uma solução da forma . Substituindo na equação, obtemos a equação característica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, as raízes são:

Passo 4

Com as raízes reais e distintas e , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é , tentaremos uma solução particular da forma:
Onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituímos , e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:

Passo 8

Agrupando os termos semelhantes:
Para :
Para :
Então, a equação fica:

Passo 9

Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados:

Passo 10

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituímos na equação (1):
Então:

Passo 11

Agora que temos e , a solução particular é:

Passo 12

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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