Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
y'' + y = csc(x) + x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação diferencial usando o método de variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros. Esse método envolve usar as soluções da equação homogênea para construir .

Passo 4

Primeiro, vamos identificar as funções que aparecem no lado direito da equação: e . Então, nossa solução particular será a soma das soluções particulares para cada uma dessas funções.

Passo 5

Vamos começar encontrando a solução particular para . Seja , onde e são funções a serem determinadas. Calculamos e , substituímos na equação original e resolvemos para e .

Passo 6

Fazendo os cálculos, acabamos com:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução particular para . Novamente, assumimos . Calculamos as derivadas, substituímos na equação e resolvemos para e .

Passo 8

Após os cálculos, obtemos:
Portanto, a solução particular para é:

Passo 9

Agora, somamos as soluções particulares encontradas:

Passo 10

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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