Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação diferencial
usando o método de variação de parâmetros. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
usando o método de variação de parâmetros. Esse método envolve usar as soluções da equação homogênea para construir
.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar as funções que aparecem no lado direito da equação:
e
. Então, nossa solução particular será a soma das soluções particulares para cada uma dessas funções.
Passo 5
Vamos começar encontrando a solução particular para
. Seja
, onde
e
são funções a serem determinadas. Calculamos
e
, substituímos na equação original e resolvemos para
e
.
Passo 6
Fazendo os cálculos, acabamos com:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução particular para
. Novamente, assumimos
. Calculamos as derivadas, substituímos na equação e resolvemos para
e
.
Passo 8
Após os cálculos, obtemos:
Portanto, a solução particular para
é:
Passo 9
Agora, somamos as soluções particulares encontradas:
Passo 10
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são constantes arbitrárias.