Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Isso tá relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Pra resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai buscar soluções da forma
, que nos leva à equação característica:
Resolvendo para
:
Então, as soluções da equação homogênea são combinações de funções seno e cosseno:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, substituímos
na solução geral para usar
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, derivamos a solução geral para aplicar
:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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