Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso tá relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Pra resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente vai buscar soluções da forma , que nos leva à equação característica:
Resolvendo para :
Então, as soluções da equação homogênea são combinações de funções seno e cosseno:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de primeiro grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio do mesmo grau:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para:
Comparando os coeficientes, temos:
Então, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, substituímos na solução geral para usar :
Então, .

Passo 6

Em seguida, derivamos a solução geral para aplicar :
Substituindo :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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