Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que a gente tem é:
Com as condições iniciais:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Por fim, usamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica associada, que é uma equação polinomial obtida substituindo
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante (
) é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 3
Com a raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Passo 7
Com os valores de
,
e
encontrados, a solução particular é:
Passo 8
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação:
Passo 9
Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Agora, calculamos a derivada
:
Aplicando
:
Então,
.
Resposta
A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:
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