Resolva os problemas de valor inicial.
y'' - 2y' + y = 2x^2 - 8x + 4, y(0) = 3, y'(0) = 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que a gente tem é:
Com as condições iniciais:
Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa. Por fim, usamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, montamos a equação característica associada, que é uma equação polinomial obtida substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Como o discriminante ( Delta) é zero, temos uma raiz dupla:

Passo 3

Com a raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, C1 e C2 são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de segundo grau:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de yp(x):
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para x^2:
  1. Para x:
  1. Termo constante:

Passo 7

Com os valores de A, B e C encontrados, a solução particular é:

Passo 8

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação:

Passo 9

Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes C1 e C2.
Primeiro, calculamos y(0):
Então, .
Agora, calculamos a derivada :
Aplicando x = 0:
Então, .

Resposta

A solução da equação diferencial dada com as condições iniciais é:

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