Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai usar o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções gerais de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. Sabemos que as soluções da homogênea são e . O próximo passo é calcular o Wronskiano dessas soluções:
Passo 4
Com o Wronskiano calculado, usamos as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar e :