Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
y'' + 2y' + y = e^(-x) cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai usar o método de variação de parâmetros, que é uma técnica para encontrar soluções gerais de equações diferenciais não homogêneas. Para isso, vamos precisar achar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica substituindo :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método de variação de parâmetros. Sabemos que as soluções da homogênea são e . O próximo passo é calcular o Wronskiano dessas soluções:

Passo 4

Com o Wronskiano calculado, usamos as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar e :
Calculando as integrais:

Passo 5

Agora, montamos a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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