Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que satisfaça a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é uma equação quadrática obtida substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação:
Obtivemos uma raiz dupla . Quando isso acontece, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos usar o método de variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano das soluções e :

$$
W =


= e^{4x}(1) = e^{4x}
$$
Agora, aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar e :
Integrando e :
Ignorando as constantes de integração (pois serão absorvidas nas constantes da solução geral), a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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(d)