Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação linear de segunda ordem. O nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando o método de variação de parâmetros. Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a solução da equação homogênea associada e depois uma solução particular que satisfaça a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para resolver isso, vamos encontrar as raízes da equação característica. A equação característica é uma equação quadrática obtida substituindo na equação homogênea:
Resolvendo essa equação:
Obtivemos uma raiz dupla. Quando isso acontece, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos usar o método de variação de parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano das soluções e :
$$
W =
= e^{4x}(1) = e^{4x}
$$
Agora, aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros para encontrar e :
Integrando e :
Ignorando as constantes de integração (pois serão absorvidas nas constantes da solução geral), a solução particular é: