Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(d)
Passo 1
Vamos analisar se a função dada é contínua no ponto . Estamos trabalhando com uma função por partes, onde a definição da função muda dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função em .
Passo 2
Primeiro, o que é continuidade? Uma função é contínua em um ponto se não apresenta “saltos” ou “quebras” naquele ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando se aproxima de pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em . Ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda ():
Para valores de , a função é definida por:
Então, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Passo 4
Calculando o limite pela direita ():
Para valores de , a função é definida por:
Então, o limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
Passo 5
Verificando o valor da função em :
Como se enquadra na condição , usamos a primeira parte da função:
Resposta
Como os limites laterais são iguais a e o valor da função em também é , a função é contínua no ponto .