Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(d) f(x) = { x^2 - 3 x + 2 se x > 1; x^2 + 4 x - 5 se x <= 1 } x0 = 1

Passo 1

Vamos analisar se a função dada é contínua no ponto . Estamos trabalhando com uma função por partes, onde a definição da função muda dependendo do valor de x. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função em .

Passo 2

Primeiro, o que é continuidade? Uma função é contínua em um ponto se não apresenta “saltos” ou “quebras” naquele ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando x se aproxima de pela esquerda é igual ao limite quando x se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em . Ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Para valores de x <= 1, a função é definida por:
Então, o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda é:

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):
Para valores de , a função é definida por:
Então, o limite quando x se aproxima de 1 pela direita é:

Passo 5

Verificando o valor da função em :
Como x = 1 se enquadra na condição x <= 1, usamos a primeira parte da função:

Resposta

Como os limites laterais são iguais a 0 e o valor da função em também é 0, a função f(x) é contínua no ponto .

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