Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(d)

Passo 1

Vamos analisar se a função dada é contínua no ponto . Estamos trabalhando com uma função por partes, onde a definição da função muda dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função em .

Passo 2

Primeiro, o que é continuidade? Uma função é contínua em um ponto se não apresenta “saltos” ou “quebras” naquele ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando se aproxima de pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em . Ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Para valores de , a função é definida por:
Então, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( ):
Para valores de , a função é definida por:
Então, o limite quando se aproxima de 1 pela direita é:

Passo 5

Verificando o valor da função em :
Como se enquadra na condição , usamos a primeira parte da função:

Resposta

Como os limites laterais são iguais a e o valor da função em também é , a função é contínua no ponto .

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(i)
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