Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(d)
(d)
Passo 1
Vamos analisar se a função dada é contínua no ponto
. Estamos trabalhando com uma função por partes, onde a definição da função muda dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função em
.
Passo 2
Primeiro, o que é continuidade? Uma função é contínua em um ponto se não apresenta “saltos” ou “quebras” naquele ponto. Matematicamente, isso significa que o limite da função quando
se aproxima de
pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em
. Ou seja:
Vamos aplicar isso à nossa função.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda (
):
Para valores de
, a função é definida por:
Então, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda é:
Passo 4
Calculando o limite pela direita (
):
Para valores de
, a função é definida por:
Então, o limite quando
se aproxima de 1 pela direita é:
Passo 5
Verificando o valor da função em
:
Como
se enquadra na condição
, usamos a primeira parte da função:
Resposta
Como os limites laterais são iguais a
e o valor da função em
também é
, a função
é contínua no ponto
.