Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de variação de parâmetros. Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla .
Passo 3
Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros.
Sabemos que a solução geral será:
Para variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já temos: e .
Passo 5
Vamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas:
Passo 6
Agora, aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros:
Ignorando a constante de integração para a solução particular, temos: