Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
y'' - 2y' + y = x^(-1) e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de variação de parâmetros. Primeiro, vamos encontrar a solução da equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para resolver isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 3

Como temos uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação de parâmetros.
Sabemos que a solução geral será:
Para variação de parâmetros, precisamos das soluções da equação homogênea, que já temos: e .

Passo 5

Vamos calcular o Wronskiano das soluções homogêneas:

Passo 6

Agora, aplicamos as fórmulas de variação de parâmetros:
Ignorando a constante de integração para a solução particular, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados