Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Vamos reescrever essa equação para facilitar:
Aqui, estamos procurando encontrar funções que satisfaçam essa equação quando o lado direito é zero.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja . Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Para resolver, usamos o fator integrante.
Passo 4
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que , temos:
Integrando novamente:
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método de variação de parâmetros. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Computamos as derivadas necessárias:
Substituindo , e na equação original e resolvendo para e , encontramos a solução particular.