Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária usando o método de variação de parâmetros. A equação que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea com uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Vamos reescrever essa equação para facilitar:
Aqui, estamos procurando encontrar funções que satisfaçam essa equação quando o lado direito é zero.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja . Assim, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Para resolver, usamos o fator integrante.

Passo 4

O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que , temos:
Integrando novamente:
Então, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa usando o método de variação de parâmetros. Assumimos que a solução particular tem a forma:
Computamos as derivadas necessárias:
Substituindo , e na equação original e resolvendo para e , encontramos a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde e são constantes de integração.

Exercícios relacionados

Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(i)
Determinar uma solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias pelo método de variação de parâmetros.
, onde .
Utilize soma de áreas de retângulos circunscritos para determinar a área sob o gráfico de , para , onde é arbitrário.