Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial ordinária:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de ordem 4 (porque a derivada de quarta ordem aparece). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e particulares, além de entender o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem o lado direito. Ou seja:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. Substituindo , temos:

Passo 3

Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (caso existam).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo e outra para . Assim:

Passo 5

Primeiro, para o termo , vamos supor que a solução particular tem a forma de um polinômio de grau 2:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Seguindo, para o termo , já que não é solução da equação homogênea, podemos supor que a solução particular seja:
Onde é outra constante a ser encontrada.

Passo 7

Agora, vamos substituir na equação diferencial original e resolver para e .
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Para :
Para :
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os termos correspondentes:
Para os termos de :
Para os termos de :
Agora, como não temos termos de ou constantes no lado direito, podemos deixar e como zero já que essas partes já estão cobertas pela solução homogênea. Então:
E:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(l)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Resolva os problemas de valor inicial.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.