Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial ordinária:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de ordem 4 (porque a derivada de quarta ordem
aparece). Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e particulares, além de entender o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte da equação sem o lado direito. Ou seja:
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica. Substituindo
, temos:
Passo 3
Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais (caso existam).
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Vamos dividir isso em duas partes: uma para o termo
e outra para
. Assim:
Passo 5
Primeiro, para o termo
, vamos supor que a solução particular tem a forma de um polinômio de grau 2:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Seguindo, para o termo
, já que
não é solução da equação homogênea, podemos supor que a solução particular seja:
Onde
é outra constante a ser encontrada.
Passo 7
Agora, vamos substituir
na equação diferencial original e resolver para
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Para
:
Para
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os termos correspondentes:
Para os termos de
:
Para os termos de
:
Agora, como não temos termos de
ou constantes no lado direito, podemos deixar
e
como zero já que essas partes já estão cobertas pela solução homogênea. Então:
E:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
com a solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(l)
(l)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Resolva os problemas de valor inicial.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.