Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o lado direito:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica. Vamos tentar fatores possíveis. Pela regra dos sinais de Descartes, testamos :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:

Passo 4

As soluções dessa equação são:
  • (onde é a unidade imaginária)
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
A gente faz isso separando os termos do lado direito:
  1. Para
  2. Para

Passo 6

Começando com , percebemos que já está na solução homogênea ( ). Então, para evitar repetição, multiplicamos por :
Derivamos para substituir na equação e encontrar .

Passo 7

Agora, para o termo , que é um polinômio de primeiro grau, assumimos uma solução particular do tipo:
Derivamos e substituímos na equação para encontrar e .

Passo 8

Calculando as derivadas:
Para :
Para :

Passo 9

Substituindo e na equação original:
Para :
Simplificando:
Para :
Comparando os coeficientes:

Passo 10

Agora, temos todas as constantes:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(i)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(l)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.