Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é a combinação da solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o lado direito:
Para isso, a gente monta a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica. Vamos tentar fatores possíveis. Pela regra dos sinais de Descartes, testamos
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
Passo 4
As soluções dessa equação são:
-
-
(onde é a unidade imaginária) -
Então, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
A gente faz isso separando os termos do lado direito:
- Para
- Para
Passo 6
Começando com
, percebemos que
já está na solução homogênea (
). Então, para evitar repetição, multiplicamos por
:
Derivamos
para substituir na equação e encontrar
.
Passo 7
Agora, para o termo
, que é um polinômio de primeiro grau, assumimos uma solução particular do tipo:
Derivamos
e substituímos na equação para encontrar
e
.
Passo 8
Calculando as derivadas:
Para
:
Para
:
Passo 9
Substituindo
e
na equação original:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Comparando os coeficientes:
Passo 10
Agora, temos todas as constantes:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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