Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que a gente tem aqui é uma equação do tipo com as condições iniciais e . A matéria que vamos usar é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e condições iniciais. Precisamos achar a solução geral dessa equação combinando a solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, montamos a equação característica: .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: . Aqui, , e .

Passo 4

Calculando o discriminante: . Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas.

Passo 5

As raízes são . Portanto, a solução geral da equação homogênea é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação de cosseno e seno, assumimos que .

Passo 7

Derivando :

Passo 8

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Igualando os coeficientes:

Passo 10

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1): => .
Substituindo na equação (2):
Multiplicando tudo por 7 para eliminar a fração:
Então, .

Passo 11

Portanto, a solução particular é .

Passo 12

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 13

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, :

Passo 14

Segundo, . Vamos calcular :
Simplificando em :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
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(l)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.