Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O que a gente tem aqui é uma equação do tipo com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e condições iniciais. Precisamos achar a solução geral dessa equação combinando a solução da parte homogênea com uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, montamos a equação característica:
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
. Aqui,
,
e
.
Passo 4
Calculando o discriminante:
. Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas.
Passo 5
As raízes são
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é .
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa . Como o lado direito é uma combinação de cosseno e seno, assumimos que .
Passo 7
Derivando
:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 9
Igualando os coeficientes:
Passo 10
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (1): =>
.
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Multiplicando tudo por 7 para eliminar a fração:
Então,
.
Passo 11
Portanto, a solução particular é .
Passo 12
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 13
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 14
Segundo,
. Vamos calcular
:
Simplificando em
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais.
(l)
(l)
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.