Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem: . Esse tipo de problema faz parte das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação é linear e tem coeficientes constantes. Isso significa que podemos assumir uma solução da forma , onde é um número que vamos encontrar.

Passo 3

Vamos derivar para substituir na equação:
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na equação original , temos:

Passo 5

Podemos fatorar (que nunca é zero) e obter a equação característica:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:

Passo 7

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação das soluções correspondentes a cada raiz:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde , e são constantes arbitrárias.

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onde é a curva de a .