Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
. Esse tipo de problema faz parte das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação é linear e tem coeficientes constantes. Isso significa que podemos assumir uma solução da forma
, onde
é um número que vamos encontrar.
Passo 3
Vamos derivar
para substituir na equação:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original
, temos:
Passo 5
Podemos fatorar
(que nunca é zero) e obter a equação característica:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação característica:
Isso nos dá as raízes:
Passo 7
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é uma combinação das soluções correspondentes a cada raiz:
- Para
: - Para
: - Para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.
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Mostre que
onde
é a curva
de
a
.