Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
. Isso pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é a parte sem o
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea, vamos montar a equação característica substituindo
por
. Assim, a equação característica fica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são
(com multiplicidade 3) e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.
Passo 5
Agora, precisamos achar uma solu��ão particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, vamos supor uma solução do tipo:
Onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas necessárias de
:
Passo 7
Substituindo
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de
e
:
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):
Passo 9
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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