Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária . Isso pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é a parte sem o .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea, vamos montar a equação característica substituindo por . Assim, a equação característica fica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são (com multiplicidade 3) e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se tiverem.

Passo 5

Agora, precisamos achar uma solu��ão particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , vamos supor uma solução do tipo:
Onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas necessárias de :

Passo 7

Substituindo e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de e :
Resolvendo o sistema:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):

Passo 9

Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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