Resolva os problemas de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem: , com as condições iniciais , e . Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares e encontrar soluções gerais e particulares pra chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, a gente monta a equação característica: . Isso significa que , então as raízes são , e . Com essas raízes, a solução geral da parte homogênea é:
onde , e são constantes que a gente vai determinar depois.

Passo 3

Agora, temos que encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, nossa tentativa será um polinômio também. Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Vamos derivar essa expressão:
Substituindo na equação original:
Isso dá:
Comparando os coeficientes, vemos que não tem termo de no lado esquerdo, então precisamos ajustar nossa tentativa. Vamos multiplicar nosso palpite por para evitar conflitos:
Derivando:
Substituindo na equação:
Organizando:
Agora, igualamos os coeficientes:

  • Então, a solução particular é:

Passo 4

Agora que temos a solução geral da parte homogênea e a solução particular, a solução geral completa é:

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes , e .
Primeiro, :
— (1)
Segundo, . Calculando a derivada:
Então:
— (2)
Terceiro, . Calculando a segunda derivada:
Então:
— (3)
Agora, resolvendo o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3):
Da equação (3):
Da equação (2):
Somando as duas:
Substituindo na equação (3):
Finalmente, da equação (1):

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(j)
Resolva os problemas de valor inicial.
Resolva os problemas de valor inicial.