Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de terceira ordem:
, com as condições iniciais
,
e
. Vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais lineares e encontrar soluções gerais e particulares pra chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja,
. Para isso, a gente monta a equação característica:
. Isso significa que
, então as raízes são
,
e
. Com essas raízes, a solução geral da parte homogênea é:
onde
,
e
são constantes que a gente vai determinar depois.
Passo 3
Agora, temos que encontrar uma solução particular para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, nossa tentativa será um polinômio também. Vamos supor que a solução particular tem a forma:
Vamos derivar essa expressão:
Substituindo na equação original:
Isso dá:
Comparando os coeficientes, vemos que não tem termo de
no lado esquerdo, então precisamos ajustar nossa tentativa. Vamos multiplicar nosso palpite por
para evitar conflitos:
Derivando:
Substituindo na equação:
Organizando:
Agora, igualamos os coeficientes:
-
⇒ -
⇒ -
⇒
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora que temos a solução geral da parte homogênea e a solução particular, a solução geral completa é:
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
,
e
.
Primeiro,
:
Segundo,
. Calculando a derivada:
Então:
Terceiro,
. Calculando a segunda derivada:
Então:
Agora, resolvendo o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3):
Da equação (3):
Da equação (3):
Da equação (2):
Somando as duas:
Substituindo na equação (3):
Finalmente, da equação (1):
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(j)
(j)
Resolva os problemas de valor inicial.
Resolva os problemas de valor inicial.