Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(j)

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para verificar se a função dada é contínua em um ponto específico. A função é definida de maneira diferente para valores de maiores que 0 e para valores menores ou iguais a 0. Para resolver isso, a gente vai precisar entender o conceito de continuidade e calcular os limites laterais da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o ponto onde precisamos verificar a continuidade. Como a função tem duas definições diferentes em e , o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pelo lado esquerdo ( ). Nesse caso, usamos a segunda parte da função:
Substituindo :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pelo lado direito ( ). Aqui, usamos a primeira parte da função:
Substituindo :

Passo 5

Agora, para a função ser contínua em , os limites laterais precisam ser iguais e também iguais ao valor da função nesse ponto. Sabemos que:
Então, para garantir a continuidade:

Resposta

A função é contínua no ponto se .

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Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(e)
Resolva os problemas de valor inicial.
Determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais ordinárias.
Resolva os problemas de valor inicial.