Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
(e)

Passo 1

Então, a gente tem uma função que muda de fórmula dependendo de onde o x está em relação a -2. Especificamente:
  • Se , a função é .
  • Se , a função é .
A matéria que estamos trabalhando aqui é Continuidade de Funções. Nosso objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos precisar calcular o valor da função nesse ponto e os limites laterais quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto . Como , usamos a primeira parte da função:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de -2 pela esquerda ( ). Nesse caso, usamos a segunda parte da função porque :
Então, o limite pela esquerda é 4.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando x se aproxima de -2 pela direita ( ). Aqui, usamos a primeira parte da função porque :
Então, o limite pela direita é -4.

Passo 5

Para a função ser contínua no ponto , três condições precisam ser satisfeitas:
  1. A função está definida no ponto.
  2. O limite da função quando x se aproxima do ponto existe.
  3. O valor da função no ponto é igual a esse limite.
Vamos verificar:
Notamos que o limite pela esquerda (4) é diferente do limite pela direita (-4). Além disso, mesmo que os limites laterais fossem iguais, teriam que ser iguais ao valor da função no ponto, que é -4. Como isso não acontece, a função não é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto .

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(j)
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